Analys I · 2024-12-11
Visa utifrån derivatans definition: Om en funktion $f$ är deriverbar och $f(x)\ne 0$, så är även funktionen $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ deriverbar och $g'(x)=-\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.
I den här frågan är exempel efterfrågade. Exemplen kan ges genom att skissa grafen till en funktion!
Ange ett exempel på en funktion som är växande i intervallet $[-1,1]$ och avtagande i intervallet $[1,3]$.
Ange ett exempel på en funktion som är injektiv och har en lokal maximipunkt i $x=3$.
(a) $$\frac{g(x+h)-g(x)}h=\frac{1/f(x+h)-1/f(x)}h=\frac{f(x)-f(x+h)}{h f(x+h)f(x)}=-\frac{f(x+h)-f(x)}h\cdot\frac1{f(x+h)f(x)}.$$ Då $h\to0$ får vi $-f'(x)/f(x)^2$, eftersom $f$ är deriverbar och därmed kontinuerlig. Alltså är $g$ deriverbar med $$g'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)^2}.$$
(b) I den här frågan är exempel efterfrågade. Exemplen kan ges genom att skissa grafen till en funktion! (i) Ett exempel på en funktion som är växande i $[-1,1]$ och avtagande i $[1,3]$. (ii) Ett exempel på en funktion som är injektiv och har en lokal maximipunkt i $x=3$.