Uppgift 3

(a) Kandidater för vertikala asymptoter är nämnarens nollställen: $x^2+x=0$ precis då $x=0$ eller $x=-1$. För $x=-1$ får vi $$\lim_{x\to-1^+}\frac1{x^2+x}e^{-1/x^2}=-\infty,$$ så $x=-1$ är en asymptot. För $x=0$ får vi med $t=1/x$ då $x\to0^+$ $$\lim_{t\to+\infty}\frac1{1/t^2+1/t}e^{-t^2}=\lim_{t\to+\infty}\frac{t^2}{t+1}e^{-t^2}=0,$$ så $x=0$ är ej asymptot.

(b) $$\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}x=\lim_{x\to\infty}\sqrt{4-\frac1{x^2}}=2.$$ Vidare $$\lim_{x\to\infty}(g(x)-2x)=\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-1-4x^2}{\sqrt{4x^2-1}+2x}=0,$$ alltså är $y=2x$ asymptot då $x\to+\infty$. På motsvarande sätt fås $y=-2x$ som asymptot då $x\to-\infty$.