Analys I · 2025-08-15
Antag att $f(x)$ är en deriverbar funktion och låt $g(x)=xf(x)$.
Visa utifrån derivatans definition att
$$g'(x)=f(x)+xf'(x).$$
Om funktionen $f(x)$ dessutom uppfyller att $f(0)=0$, måste $g(x)$ då ha en lokal extrempunkt i punkten $x=0$? Motivera ditt svar.
(a) Derivatans definition ger
$$\begin{aligned}g'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)f(x+h)-xf(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\left(x\frac{f(x+h)-f(x)}h+f(x+h)\right)\\&=xf'(x)+f(x),\end{aligned}$$
där vi i gränsövergången även utnyttjat att en deriverbar funktion alltid är kontinuerlig.
(b) Vi kan inte dra någon slutsats om huruvida $g(x)$ har en lokal extrempunkt i punkten $x=0$. Om t ex $f(x)=x$ får vi $g(x)=x^2$ som har ett minimum i $x=0$. Om vi istället har t ex $f(x)=x^2$ får vi $g(x)=x^3$ som inte har en extrempunkt i $x=0$.