Analys I · 2026-04-15
Låt $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vara en positiv, deriverbar funktion.
Visa med hjälp av derivatans definition att $f(x)=\sqrt{p(x)}$ är deriverbar med $f'(x)=\frac{p'(x)}{2\sqrt{p(x)}}$.
Antag nu dessutom att $p$ är konvex och två gånger deriverbar. Är det sant eller falskt att funktionen $g(x):=(p(x))^2$ är konvex? Motivera ditt svar noggrant!
(a) För $f(x)=\sqrt{p(x)}$ får vi $$\frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{\sqrt{p(x+h)}-\sqrt{p(x)}}h=\frac{p(x+h)-p(x)}{h(\sqrt{p(x+h)}+\sqrt{p(x)})}.$$ Då $h\to0$ och $p$ är kontinuerlig får vi $$f'(x)=\frac{p'(x)}{2\sqrt{p(x)}}.$$
(b) $p$ har en andra derivata och $p''(x)\ge0$ för alla $x$. Vi har $$g'(x)=2p(x)p'(x),\qquad g''(x)=2(p'(x))^2+2p(x)p''(x)\ge0.$$ Alltså är $g$ konvex.