Analys II · 2024-05-27
Låt $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ vara en funktion i två variabler. Ange definitionen av en stationär punkt till $f$.
Antag att $f,g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ är funktioner i två variabler och att $(x_0,y_0)$ är en stationär punkt till både $f$ och $g$. Visa att $(x_0,y_0)$ även är en stationär punkt till funktionen $h(x,y)=f(x,y)g(x,y)$. Om $(x_0,y_0)$ är en lokal maximipunkt till både $f$ och $g$, följer det att $(x_0,y_0)$ är en lokal maximipunkt till $h$?
(a) $(x_0,y_0)$ kallas stationär punkt om $f$ är partiellt deriverbar i $(x_0,y_0)$ och
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0).$$
(b) Om $(x_0,y_0)$ är en stationär punkt till båda $f$ och $g$, så har vi med produktregeln för envariabelfunktioner
$$\frac{\partial h}{\partial x}(x_0,y_0)
=f(x_0,y_0)\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)
+g(x_0,y_0)\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0$$
och analogt $\frac{\partial h}{\partial y}(x_0,y_0)=0$. Därför är $(x_0,y_0)$ en stationär punkt till $h$.
Slutsatsen att $h$ har ett lokalt maximum i $(x_0,y_0)$ om detta gäller för $f$ och $g$ gäller inte allmänt. Betrakta t.ex.
$$f(x,y)=2-(x^2+y^2),\qquad g(x,y)=-2-(x^2+y^2).$$
Båda har ett lokalt maximum i $(0,0)$ (paraboloider öppnade nedåt). Men
$$h(x,y)=f(x,y)g(x,y)=(x^2+y^2)^2-4$$
har ett lokalt minimum i $(0,0)$, då
$$h(x,y)\ge-4=h(0,0)\qquad\forall(x,y)\in\mathbb R^2.$$