Uppgift 2
Bestäm Maclaurinpolynomen $p_1$ och $p_2$ av grad 1 respektive 2 för funktionen $f(x)=\frac{1}{2+e^{3x}}$. Ange dessutom en övre uppskattning för felet som uppstår när $f(0,1)$ ersätts med $p_1(0,1)$. Tips: $e^{0,3}<\frac{3}{2}$.
Analys II · 2025-01-17
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
För $f(x)=\frac{1}{2+e^{3x}}$ gäller $$f'(x)=-\frac{3e^{3x}}{(2+e^{3x})^2},\qquad f''(x)=\frac{9e^{3x}(e^{3x}-2)}{(2+e^{3x})^3}.$$ Särskilt är $f(0)=\frac13$, $f'(0)=-\frac13$ och $f''(0)=-\frac13$. Därför $$p_1(x)=\frac13-\frac13x,\qquad p_2(x)=\frac13-\frac13x-\frac16x^2.$$ För $0\leq\xi\leq0,1$ gäller $e^{3\xi}\leq e^{0,3}<\frac32$, och Taylors formel ger $$\lvert R_2(0,1)\rvert=\frac{9e^{3\xi}(2-e^{3\xi})}{2(2+e^{3\xi})^3}\,10^{-2}\leq\frac14\,10^{-2}.$$