Tenta 2025-01-17

Polynomdivision ger $x=1$ som ett nollställe och $$x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2).$$ Alltså $$f(x)=\frac{4}{x-1}+\frac{x-2}{x^2+2x+2}.$$ Partiellbråksuppdelningen ger $$\int f(x)\,dx=4\ln\lvert x-1\rvert+\frac12\ln(x^2+2x+2)-3\arctan(x+1)+C,$$ där $C\in\mathbb R$.

För $f(x)=\frac{1}{2+e^{3x}}$ gäller $$f'(x)=-\frac{3e^{3x}}{(2+e^{3x})^2},\qquad f''(x)=\frac{9e^{3x}(e^{3x}-2)}{(2+e^{3x})^3}.$$ Särskilt är $f(0)=\frac13$, $f'(0)=-\frac13$ och $f''(0)=-\frac13$. Därför $$p_1(x)=\frac13-\frac13x,\qquad p_2(x)=\frac13-\frac13x-\frac16x^2.$$ För $0\leq\xi\leq0,1$ gäller $e^{3\xi}\leq e^{0,3}<\frac32$, och Taylors formel ger $$\lvert R_2(0,1)\rvert=\frac{9e^{3\xi}(2-e^{3\xi})}{2(2+e^{3\xi})^3}\,10^{-2}\leq\frac14\,10^{-2}.$$

(a) Området $D_1$ ligger mellan $y=x^2-1$ och $y=x+1$, med skärningspunkter $x=-1$ och $x=2$. Därför $$\begin{aligned}\iint_{D_1}x\,dx\,dy&=\int_{-1}^{2}\left(\int_{x^2-1}^{x+1}x\,dy\right)dx\\&=\int_{-1}^{2}\bigl(x^2+x-(x^3-x)\bigr)dx\\&=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{-1}^{2}=\frac94.\end{aligned}$$ (b) Polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ger $\sqrt2\leq r\leq2$ och $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$. Alltså $$\begin{aligned}\iint_{D_2}xe^{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\sqrt2}^{2}r\cos\theta\,e^{r^3}r\,dr\,d\theta\\&=\frac13\left[\sin\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[e^{r^3}\right]_{\sqrt2}^{2}=\frac23(e^8-e^{2\sqrt2}).\end{aligned}$$

Differentialekvationen är separabel. Lösningen $y=0$ är en konstant lösning. För $y\neq0$ får vi $$\int\frac1y\,dy=\int\frac{x+29}{x^2+3x-28}\,dx.$$ Nollställena i nämnaren är $-7$ och $4$, och $$\frac{x+29}{x^2+3x-28}=-\frac2{x+7}+\frac3{x-4}.$$ Alltså $$\ln\lvert y\rvert=-2\ln\lvert x+7\rvert+3\ln\lvert x-4\rvert+C,$$ så $$y(x)=\pm\frac{(x-4)^3}{(x+7)^2}e^C.$$ Begynnelsevillkoret ger $$-\frac1{12}=y(5)=\pm\frac1{12^2}e^C,$$ med minustecken, alltså $e^C=12$. Därför $$y(x)=-12\frac{(x-4)^3}{(x+7)^2}.$$

(a) $f$ är partiellt deriverbar i $(x_0,y_0)$ om funktionerna $g(x)=f(x,y_0)$ är deriverbar i $x=x_0$ och $h(y)=f(x_0,y)$ är deriverbar i $y=y_0$. (b) I $(0,0)$ är $g(x)=f(x,0)=1$ och $h(y)=f(0,y)=1$, alltså är båda deriverbara och $f$ är partiellt deriverbar i $(0,0)$. (c) Funktionen är partiellt deriverbar överallt, och på randen gäller $x^2+y^2=2$, varför $f(x,y)=0$. Inre stationära punkter fås ur $$\frac{\partial f}{\partial x}=2-3x^2-y^2=0,\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=-2xy=0.$$ Därav fås $(0,\pm\sqrt2)$ och $(\pm\sqrt{2/3},0)$. Värdena är $f(0,\pm\sqrt2)=0$ och $$f(\pm\sqrt{2/3},0)=\pm\frac43\sqrt{\frac23}.$$ Alltså är maximum $\frac43\sqrt{\frac23}$ och minimum $-\frac43\sqrt{\frac23}$.