Analys II · 2025-01-17
Beräkna dubbelintegralen $\iint_{D_1}x\,dx\,dy$, där $D_1$ är det begränsade område i planet som ligger mellan graferna till $g(x)=x^2-1$ och $h(x)=x+1$.
Beräkna $\iint_{D_2}x e^{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy$, där $D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:2\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0\}$.
(a) Området $D_1$ ligger mellan $y=x^2-1$ och $y=x+1$, med skärningspunkter $x=-1$ och $x=2$. Därför $$\begin{aligned}\iint_{D_1}x\,dx\,dy&=\int_{-1}^{2}\left(\int_{x^2-1}^{x+1}x\,dy\right)dx\\&=\int_{-1}^{2}\bigl(x^2+x-(x^3-x)\bigr)dx\\&=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{-1}^{2}=\frac94.\end{aligned}$$ (b) Polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ ger $\sqrt2\leq r\leq2$ och $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$. Alltså $$\begin{aligned}\iint_{D_2}xe^{(x^2+y^2)^{3/2}}\,dx\,dy&=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{\sqrt2}^{2}r\cos\theta\,e^{r^3}r\,dr\,d\theta\\&=\frac13\left[\sin\theta\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\left[e^{r^3}\right]_{\sqrt2}^{2}=\frac23(e^8-e^{2\sqrt2}).\end{aligned}$$