Uppgift 4

Differentialekvationen är separabel. Lösningen $y=0$ är en konstant lösning. För $y\neq0$ får vi $$\int\frac1y\,dy=\int\frac{x+29}{x^2+3x-28}\,dx.$$ Nollställena i nämnaren är $-7$ och $4$, och $$\frac{x+29}{x^2+3x-28}=-\frac2{x+7}+\frac3{x-4}.$$ Alltså $$\ln\lvert y\rvert=-2\ln\lvert x+7\rvert+3\ln\lvert x-4\rvert+C,$$ så $$y(x)=\pm\frac{(x-4)^3}{(x+7)^2}e^C.$$ Begynnelsevillkoret ger $$-\frac1{12}=y(5)=\pm\frac1{12^2}e^C,$$ med minustecken, alltså $e^C=12$. Därför $$y(x)=-12\frac{(x-4)^3}{(x+7)^2}.$$