Analys II · 2025-02-28
Ange definitionen för konvergens av en serie av reella tal.
Om serien $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ konvergerar, följer det då att även serien $\sum_{k=1}^{\infty}ka_k$ konvergerar? Ange ett bevis respektive ett motexempel.
Undersök huruvida serien $\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-k}$ konvergerar.
(a) Serien $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ sägs konvergera om $$s=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{N}a_k\right)$$ existerar i $\mathbb R$. (b) Nej. Ett motexempel är $a_k=\frac1{k^2}$. Då konvergerar $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, medan $$\sum_{k=1}^{\infty}ka_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k$$ är divergent (den harmoniska serien). (c) Sätt $f(x)=xe^{-x}$ för $x\geq1$. Funktionen är kontinuerlig, deriverbar och icke-negativ, och $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ är negativ för $x>1$. Enligt Cauchys integraltest konvergerar serien om och endast om $\int_1^{\infty}f(x)\,dx$ konvergerar. Partiell integration ger $$\int xe^{-x}\,dx=-xe^{-x}+\int(-e^{-x})\,dx=-e^{-x}(x+1).$$ Därför $$\int_1^b f(x)\,dx=-e^{-b}(b+1)+2e^{-1}\longrightarrow2e^{-1}$$ då $b\to\infty$. Alltså konvergerar serien.