Uppgift 1
Beräkna Maclaurinpolynomet $p_2$ av grad 2 till funktionen $f(x)=e^{-x^2}$. Visa dessutom att approximationsfelet som fås när $f(x)$ ersätts med $p_2(x)$ är högst $2\cdot10^{-4}$ för $-0,1\le x\le0,1$.
Analys II · 2025-06-02
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
För $f(x)=e^{-x^2}$ gäller $$f'(x)=-2xe^{-x^2},\qquad f''(x)=2(2x^2-1)e^{-x^2},$$ $$f'''(x)=-4xe^{-x^2}(2x^2-3).$$ Alltså är $p_2(x)=1-x^2$. Resttermen är $$R_3(x)=\frac{-4\xi e^{-\xi^2}(2\xi^2-3)}6x^3,$$ där $\xi$ ligger mellan $0$ och $x$. För $-0,1\leq x\leq0,1$ har vi $|\xi|\leq0,1$ och därför $$|R_3(x)|\leq\frac23\cdot0,1\cdot1\cdot3\cdot0,1^3=2\cdot10^{-4}.$$