Uppgift 1
Beräkna Maclaurinpolynomet $p_2$ av grad 2 till funktionen $f(x)=e^{-x^2}$. Visa dessutom att approximationsfelet som fås när $f(x)$ ersätts med $p_2(x)$ är högst $2\cdot10^{-4}$ för $-0,1\le x\le0,1$.
MM2001 · Analys II
Tenta 2025-06-02
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
För $f(x)=e^{-x^2}$ gäller $$f'(x)=-2xe^{-x^2},\qquad f''(x)=2(2x^2-1)e^{-x^2},$$ $$f'''(x)=-4xe^{-x^2}(2x^2-3).$$ Alltså är $p_2(x)=1-x^2$. Resttermen är $$R_3(x)=\frac{-4\xi e^{-\xi^2}(2\xi^2-3)}6x^3,$$ där $\xi$ ligger mellan $0$ och $x$. För $-0,1\leq x\leq0,1$ har vi $|\xi|\leq0,1$ och därför $$|R_3(x)|\leq\frac23\cdot0,1\cdot1\cdot3\cdot0,1^3=2\cdot10^{-4}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm alla primitiva funktioner till $f(x)=\frac{4x^2+9x+5}{(x+2)(x^2+x+1)}$.
Visa lösningDölj lösning
Partialbråksuppdelning ger $$\frac{4x^2+9x+5}{(x+2)(x^2+x+1)}=\frac1{x+2}+\frac{3x+2}{x^2+x+1}.$$ Genom att sätta $x=-2$ fås koefficienten $1$, och därefter ger $x=0$ koefficienten $2$ i täljaren. Alltså $$\begin{aligned}\int f(x)\,dx&=\int\frac1{x+2}\,dx+\int\frac{3x+2}{x^2+x+1}\,dx\\&=\ln\lvert x+2\rvert+\frac32\ln(x^2+x+1)+\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.\end{aligned}$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
Byt integrationsordning i den itererade integralen $\int_0^{\pi/2}\int_{1-2x/\pi}^{\cos x}f(x,y)\,dy\,dx$.
(b)
Beräkna $\iint_D(40-x^2-y^2-3y)\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y):0\le x^2+y^2\le16,\ y\ge0\}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Området i den itererade integralen ges av $0\leq x\leq\frac\pi2$ och $1-\frac{2x}{\pi}\leq y\leq\cos x$. Efter byte av integrationsordning skrivs integralen som $$\int_0^1\int_{\frac\pi2(1-y)}^{\arccos y}f(x,y)\,dx\,dy.$$ (b) Med polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $0\leq r\leq4$, $0\leq\theta\leq\pi$, får vi $$\begin{aligned}\iint_D(40-x^2-y^2-3y)\,dx\,dy&=\int_0^4\int_0^\pi(40-r^2-3r\sin\theta)r\,d\theta\,dr\\&=\pi\int_0^4(40r-r^3)\,dr-6\int_0^4r^2\,dr\\&=\pi(320-64)-128=256\pi-128.\end{aligned}$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y^\prime=e^x y^2$ som uppfyller $y(0)=1$.
(b)
Finn alla lösningar till differentialekvationen $y^\prime\prime-6y^\prime+9y=0$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Differentialekvationen är separabel. Lösningen $y=0$ är konstant, annars $$\int\frac1{y^2}\,dy=\int e^x\,dx,$$ vilket ger $$-\frac1y=e^x+C\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac1{e^x+C}.$$ Begynnelsevillkoret $y(0)=1$ ger $1=-1/(1+C)$, alltså $1+C=-1$, $C=-2$ och $y(x)=\frac1{2-e^x}$. (b) Den karakteristiska ekvationen är $$0=\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2.$$ Den dubbla roten är $\lambda=3$, så $$y(x)=(C_1+C_2x)e^{3x}.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=e^{x^2}(2-x^2-y^2)$ på den slutna cirkelskivan med radie $\sqrt2$ och mittpunkt i origo.
(b)
Låt $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ vara en funktion i två variabler. Ange definitionen för den partiella derivatan $\frac{\partial f}{\partial x}$.
(c)
Låt $f,g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ vara partiellt deriverbara i punkten $(x_0,y_0)$. Visa att samma sak gäller för produkten $fg$ och härled en formel för $\frac{\partial(fg)}{\partial x}(x_0,y_0)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) På randen $x^2+y^2=2$ är $f(x,y)=0$. Inre stationära punkter fås ur $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xe^{x^2}(1-x^2-y^2)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2ye^{x^2}=0.$$ Därav fås $(0,0)$ och $(\pm1,0)$. Värdena är $f(0,0)=2$ och $f(\pm1,0)=e$, så maximum är $e$ och minimum är $0$. (b) Definitionen är $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h=F'(x_0),$$ där $F(x)=f(x,y_0)$. (c) Om $F(x)=f(x,y_0)$ och $G(x)=g(x,y_0)$ är deriverbara i $x_0$, gäller produktregeln för $FG$: $$\frac{\partial(fg)}{\partial x}(x_0,y_0)=(FG)'(x_0)=F'(x_0)G(x_0)+F(x_0)G'(x_0)$$ $$=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)g(x_0,y_0)+f(x_0,y_0)\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0).$$