Analys II · 2025-06-02

Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=e^{x^2}(2-x^2-y^2)$ på den slutna cirkelskivan med radie $\sqrt2$ och mittpunkt i origo.

(b)

Låt $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ vara en funktion i två variabler. Ange definitionen för den partiella derivatan $\frac{\partial f}{\partial x}$.

(c)

Låt $f,g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ vara partiellt deriverbara i punkten $(x_0,y_0)$. Visa att samma sak gäller för produkten $fg$ och härled en formel för $\frac{\partial(fg)}{\partial x}(x_0,y_0)$.

Visa lösningDölj lösning

(a) På randen $x^2+y^2=2$ är $f(x,y)=0$. Inre stationära punkter fås ur $$\frac{\partial f}{\partial x}=2xe^{x^2}(1-x^2-y^2)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2ye^{x^2}=0.$$ Därav fås $(0,0)$ och $(\pm1,0)$. Värdena är $f(0,0)=2$ och $f(\pm1,0)=e$, så maximum är $e$ och minimum är $0$. (b) Definitionen är $$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}h=F'(x_0),$$ där $F(x)=f(x,y_0)$. (c) Om $F(x)=f(x,y_0)$ och $G(x)=g(x,y_0)$ är deriverbara i $x_0$, gäller produktregeln för $FG$: $$\frac{\partial(fg)}{\partial x}(x_0,y_0)=(FG)'(x_0)=F'(x_0)G(x_0)+F(x_0)G'(x_0)$$ $$=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)g(x_0,y_0)+f(x_0,y_0)\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0).$$