Uppgift 2

Partialbråksuppdelning ger $$\frac{4x^2+9x+5}{(x+2)(x^2+x+1)}=\frac1{x+2}+\frac{3x+2}{x^2+x+1}.$$ Genom att sätta $x=-2$ fås koefficienten $1$, och därefter ger $x=0$ koefficienten $2$ i täljaren. Alltså $$\begin{aligned}\int f(x)\,dx&=\int\frac1{x+2}\,dx+\int\frac{3x+2}{x^2+x+1}\,dx\\&=\ln\lvert x+2\rvert+\frac32\ln(x^2+x+1)+\frac1{\sqrt3}\arctan\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.\end{aligned}$$