Uppgift 4
(a)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y^\prime=e^x y^2$ som uppfyller $y(0)=1$.
(b)
Finn alla lösningar till differentialekvationen $y^\prime\prime-6y^\prime+9y=0$.
Analys II · 2025-06-02
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
(a) Differentialekvationen är separabel. Lösningen $y=0$ är konstant, annars $$\int\frac1{y^2}\,dy=\int e^x\,dx,$$ vilket ger $$-\frac1y=e^x+C\quad\Longrightarrow\quad y=-\frac1{e^x+C}.$$ Begynnelsevillkoret $y(0)=1$ ger $1=-1/(1+C)$, alltså $1+C=-1$, $C=-2$ och $y(x)=\frac1{2-e^x}$. (b) Den karakteristiska ekvationen är $$0=\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2.$$ Den dubbla roten är $\lambda=3$, så $$y(x)=(C_1+C_2x)e^{3x}.$$