Uppgift 3

(a) Området i den itererade integralen ges av $0\leq x\leq\frac\pi2$ och $1-\frac{2x}{\pi}\leq y\leq\cos x$. Efter byte av integrationsordning skrivs integralen som $$\int_0^1\int_{\frac\pi2(1-y)}^{\arccos y}f(x,y)\,dx\,dy.$$ (b) Med polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $0\leq r\leq4$, $0\leq\theta\leq\pi$, får vi $$\begin{aligned}\iint_D(40-x^2-y^2-3y)\,dx\,dy&=\int_0^4\int_0^\pi(40-r^2-3r\sin\theta)r\,d\theta\,dr\\&=\pi\int_0^4(40r-r^3)\,dr-6\int_0^4r^2\,dr\\&=\pi(320-64)-128=256\pi-128.\end{aligned}$$