Uppgift 2

(a) Vi har att göra med en rationell funktion vars täljare har grad $4$ och vars nämnare har grad $2$. Vi genomför därför polynomdivision för att kunna skriva
$$f(x)=p(x)+g(x),$$
för ett polynom $p$ och en rationell funktion $g$ vars täljare har lägre grad än dess nämnare. Vi erhåller
$$p(x)=x^2-x,\qquad g(x)=\frac1{x^2+x}.$$
Vi kan genast bestämma en primitiv funktion till $p$ i form av
$$P(x)=\frac13x^3-\frac12x^2+C,$$
där $C$ är en konstant.
Låt oss därefter bestämma en primitiv funktion till $g(x)$. Vi ser att nämnaren kan skrivas som en produkt av två distinkta linjära faktorer, $x^2+x=x(x+1)$. Därmed kan vi ansätta en partialbråksuppdelning på formen
$$\frac1{x^2+x}=\frac Ax+\frac B{x+1}.$$
Vi bildar gemensam nämnare och får
$$\frac{(A+B)x+A}{x^2+x},$$
och detta uttryck är lika med $1/(x^2+x)$ precis när $A+B=0$ och $A=1$. Alltså fås
$$\frac1{x^2+x}=\frac1x-\frac1{x+1}.$$
Vi har
$$G(x)=\int\left(\frac1x-\frac1{x+1}\right)\,dx=\ln|x|-\ln|x+1|+C,$$
där $C$ är en reell konstant. Genom att addera $P$ och $G$ fås nu
$$\int\frac{x^4-x^2+1}{x^2+x}\,dx =\frac13x^3-\frac12x^2+\ln|x|-\ln|x+1|+C.$$

(b) Vi observerar först att integranden kan skrivas på formen $g(y)\cdot f(x)$ där $g(y)=y$. Vidare är området $D$ av produkttyp, $D=[1,2]\times[-1,1]$. Enligt ett känt resultat från kursen har vi
$$\iint_Df(x)g(y)\,dx\,dy =\left(\int_1^2f(x)\,dx\right)\left(\int_{-1}^1g(y)\,dy\right).$$
Den första faktorn i högerledet är ändlig eftersom $f$ är slät på intervallet $[1,2]$ då funktionens nämnare är nollskild där. Den andra faktorn är lika med $0$ eftersom $y$ är en udda funktion som integreras över ett symmetriskt intervall. Därmed inser vi att dubbelintegralens värde är lika med $0$ utan att integralen i den första faktorn behöver beräknas.