Tenta 2026-01-15

Vi använder den högra parabelgrenen $x=\sqrt{24y}$, $0\le y\le18$. Rotation kring $y$-axeln ger samma yta som om båda grenarna tas med. Eftersom
$$\frac{dx}{dy}=\frac{12}{x}$$
blir rotationsytans area
$$\begin{aligned} A&=2\pi\int_0^{18}x\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}\,dy =2\pi\int_0^{18}\sqrt{24y+144}\,dy\\ &=\frac{\pi}{18}\left[(24y+144)^{3/2}\right]_0^{18} =\frac{\pi}{18}\left(576^{3/2}-144^{3/2}\right) =672\pi. \end{aligned}$$

(a) Vi har att göra med en rationell funktion vars täljare har grad $4$ och vars nämnare har grad $2$. Vi genomför därför polynomdivision för att kunna skriva
$$f(x)=p(x)+g(x),$$
för ett polynom $p$ och en rationell funktion $g$ vars täljare har lägre grad än dess nämnare. Vi erhåller
$$p(x)=x^2-x,\qquad g(x)=\frac1{x^2+x}.$$
Vi kan genast bestämma en primitiv funktion till $p$ i form av
$$P(x)=\frac13x^3-\frac12x^2+C,$$
där $C$ är en konstant.
Låt oss därefter bestämma en primitiv funktion till $g(x)$. Vi ser att nämnaren kan skrivas som en produkt av två distinkta linjära faktorer, $x^2+x=x(x+1)$. Därmed kan vi ansätta en partialbråksuppdelning på formen
$$\frac1{x^2+x}=\frac Ax+\frac B{x+1}.$$
Vi bildar gemensam nämnare och får
$$\frac{(A+B)x+A}{x^2+x},$$
och detta uttryck är lika med $1/(x^2+x)$ precis när $A+B=0$ och $A=1$. Alltså fås
$$\frac1{x^2+x}=\frac1x-\frac1{x+1}.$$
Vi har
$$G(x)=\int\left(\frac1x-\frac1{x+1}\right)\,dx=\ln|x|-\ln|x+1|+C,$$
där $C$ är en reell konstant. Genom att addera $P$ och $G$ fås nu
$$\int\frac{x^4-x^2+1}{x^2+x}\,dx =\frac13x^3-\frac12x^2+\ln|x|-\ln|x+1|+C.$$

(b) Vi observerar först att integranden kan skrivas på formen $g(y)\cdot f(x)$ där $g(y)=y$. Vidare är området $D$ av produkttyp, $D=[1,2]\times[-1,1]$. Enligt ett känt resultat från kursen har vi
$$\iint_Df(x)g(y)\,dx\,dy =\left(\int_1^2f(x)\,dx\right)\left(\int_{-1}^1g(y)\,dy\right).$$
Den första faktorn i högerledet är ändlig eftersom $f$ är slät på intervallet $[1,2]$ då funktionens nämnare är nollskild där. Den andra faktorn är lika med $0$ eftersom $y$ är en udda funktion som integreras över ett symmetriskt intervall. Därmed inser vi att dubbelintegralens värde är lika med $0$ utan att integralen i den första faktorn behöver beräknas.

(a) Vi utgår ifrån standardutvecklingen
$$\cos y=1-\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{24}+y^6B_1(y),$$
där $B_1$ är begränsad i en omgivning av origo, och erhåller genom substitutionen $y=x^4$ utvecklingen
$$x\cos(x^4) =x\left(1-\frac{(x^4)^2}{2}+\frac{(x^4)^4}{24}+(x^4)^6B_2(x)\right) =x-\frac{x^9}{2}+\frac{x^{17}}{24}+x^{25}B_2(x)$$
för en funktion $B_2$ begränsad i en omgivning av origo. Det sökta Maclaurinpolynomet ges således av
$$p_{17}(x)=x+\frac{x^{17}}{24}.$$

(b) Vi utnyttjar utvecklingen i (a) för att skriva
$$x\cos(x^4)-x+\frac{x^9}{2} =\frac{x^{17}}{24}+x^{25}B_2(x)$$
för en funktion $B_2$ som är begränsad i en omgivning av origo. Detta ger att
$$\frac1{x^{16}}\left(x\cos(x^4)-x+\frac{x^9}{2}\right) =\frac{x}{24}+x^9B_2(x),$$
vilket låter oss dra slutsatsen att det sökta gränsvärdet är lika med $0$.

(a) Området är en roterad kvadrat med sidor parallella med $y=x$ och $y=-x$ respektive.

(b) Den givna funktionen ges av ett polynom i två variabler och är således godtyckligt många gånger partiellt deriverbar i planet, och speciellt kontinuerlig i hela $\mathbb R^2$. Området $D$ är slutet och begränsat, alltså kompakt. Enligt satsen om extremvärden antar således funktionen $f$ ett största och ett minsta värde på $D$.

(c) Eftersom $f$ är partiellt deriverbar i planet och speciellt i $D$ föreligger inga punkter där $f$ saknar partiell derivata. Vi undersöker alltså $f$:s värden i stationära punkter i $D$ samt i randpunkterna till $D$. Vi har
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-1.$$
Villkoret $\partial f/\partial y=0$ ger att $x=\pm1$. Insatt i $\partial f/\partial x=0$ ger detta att $y=0$. Punkterna $(\pm1,0)$ ligger i två av hörnen till $D$ och därmed saknas stationära punkter i det inre av $D$.
Vi undersöker därför $f$ på randen $\partial D$, vilken med fördel kan delas upp i fyra komponenter. Vi går igenom dessa moturs.
Den första randkomponenten ges av linjesegmentet $y=1-x$, $0\le x\le1$. Vi erhåller randfunktionen
$$g_I(x)=f(x,1-x)=x^2(1-x)-(1-x)=-x^3+x^2+x-1.$$
Vi har $g_I(0)=-1$ och $g_I(1)=0$ samt $g_I'(x)=-3x^2+2x+1$. Vi ser med hjälp av exempelvis kvadratkomplettering att $g_I'(x)=(1-x)(3x+1)$ och eftersom detta uttryck är icke-negativt på $[0,1]$ är $g_I$ växande på detta intervall.
En andra randkomponent ges av $y=1+x$, $-1\le x\le0$. Denna ger upphov till
$$g_{II}(x)=f(x,1+x)=x^2(1+x)-(1+x)=x^3+x^2-x-1.$$
Vi har $g_{II}(-1)=0$ och $g_{II}(0)=-1$ samt $g_{II}'(x)=3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)\le0$ när $-1\le x\le0$, vilket betyder att funktionen $g_{II}$ är avtagande för dessa värden på $x$.
Tredje randkomponenten beskrivs av $y=-1-x$, $-1\le x\le0$ och ger oss
$$g_{III}(x)=x^2(-1-x)-(-1-x)=-x^3-x^2+x+1.$$
Denna funktion har $g_{III}(-1)=0$ samt $g_{III}(0)=1$, och $g_{III}'(x)=(1-3x)(x+1)$. Därmed är $g_{III}$ växande på $[-1,0]$.
En sista randkomponent ges av $y=x-1$, $0\le x\le1$, och ger upphov till
$$g_{IV}(x)=x^2(x-1)-(x-1)=x^3-x^2-x+1.$$
Vi ser att $g_{IV}(0)=1$ och $g_{IV}(1)=0$ medan $g_{IV}'(x)=(x-1)(3x+1)$ är negativ på intervallet $[0,1]$, vilket medför att $g_{IV}$ är avtagande där.
Efter en jämförelse av funktionens värden i de fyra hörnen erhåller vi alltså ett största värde $1$ i punkten $(0,-1)$ och ett minsta värde $-1$ i punkten $(0,1)$.

Enligt en känd sats kan den allmänna lösningen till differentialekvationen skrivas på formen
$$y(x)=y_h(x)+y_p(x),$$
där $y_h$ är den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation medan $y_p$ är en partikulärlösning.
Vi börjar alltså med att lösa den homogena ekvationen
$$y''(x)+2y'(x)-y(x)=0.$$
Den sedvanliga ansatsen $y(x)=e^{rx}$ leder till den karakteristiska ekvationen
$$r^2+2r-1=0.$$
Vi kvadratkompletterar
$$r^2+2r-1=(r+1)^2-2$$
och erhåller två distinkta rötter $r_1=-1-\sqrt2$ och $r_2=-1+\sqrt2$. Därmed ges den allmänna lösningen till det homogena problemet av
$$y_h(x)=C_1e^{(-1-\sqrt2)x}+C_2e^{(-1+\sqrt2)x},$$
där $C_1,C_2\in\mathbb R$ är konstanter.
Vi söker nu en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen. Eftersom vi har att göra med en inhomogenitet som ges av en summa av en exponentialfunktion och en konstant ansätter vi
$$y_p(x)=A+Be^{2x}$$
och söker bestämma $A$ och $B$ så att ekvationen är uppfylld. Notera att resonans ej föreligger då vi har $2x$ i exponenten hos inhomogeniteten.
Derivering ger $y_p'(x)=2Be^{2x}$ och $y_p''(x)=4Be^{2x}$. Insättning i vänsterledet ger
$$4Be^{2x}+2\cdot2Be^{2x}-A-Be^{2x}=-A+7Be^{2x}.$$
Vi vill att detta ska vara lika med $e^{2x}-1$, vilket ger villkoren $-A=-1$ samt $7B=1$. En partikulärlösning ges alltså av
$$y_p(x)=\frac17e^{2x}+1.$$
Slutligen ges den allmänna lösningen till den givna differentialekvationen av
$$y(x)=C_1e^{(-1-\sqrt2)x}+C_2e^{(-1+\sqrt2)x}+\frac17e^{2x}+1,$$
där $C_1,C_2$ är reella konstanter.