Analys II · 2026-01-15
Skissa området $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\le1\}$.
Förklara varför vi kan vara säkra på att $f(x,y)=x^2y-y$ antar ett största värde och ett minsta värde på $D$.
Bestäm det största värdet och det minsta värdet som funktionen $f(x,y)=x^2y-y$ antar på mängden $D$ i deluppgift (a) och ange i vilka punkter dessa antas.
(a) Området är en roterad kvadrat med sidor parallella med $y=x$ och $y=-x$ respektive.
(b) Den givna funktionen ges av ett polynom i två variabler och är således godtyckligt många gånger partiellt deriverbar i planet, och speciellt kontinuerlig i hela $\mathbb R^2$. Området $D$ är slutet och begränsat, alltså kompakt. Enligt satsen om extremvärden antar således funktionen $f$ ett största och ett minsta värde på $D$.
(c) Eftersom $f$ är partiellt deriverbar i planet och speciellt i $D$ föreligger inga punkter där $f$ saknar partiell derivata. Vi undersöker alltså $f$:s värden i stationära punkter i $D$ samt i randpunkterna till $D$. Vi har
$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-1.$$
Villkoret $\partial f/\partial y=0$ ger att $x=\pm1$. Insatt i $\partial f/\partial x=0$ ger detta att $y=0$. Punkterna $(\pm1,0)$ ligger i två av hörnen till $D$ och därmed saknas stationära punkter i det inre av $D$.
Vi undersöker därför $f$ på randen $\partial D$, vilken med fördel kan delas upp i fyra komponenter. Vi går igenom dessa moturs.
Den första randkomponenten ges av linjesegmentet $y=1-x$, $0\le x\le1$. Vi erhåller randfunktionen
$$g_I(x)=f(x,1-x)=x^2(1-x)-(1-x)=-x^3+x^2+x-1.$$
Vi har $g_I(0)=-1$ och $g_I(1)=0$ samt $g_I'(x)=-3x^2+2x+1$. Vi ser med hjälp av exempelvis kvadratkomplettering att $g_I'(x)=(1-x)(3x+1)$ och eftersom detta uttryck är icke-negativt på $[0,1]$ är $g_I$ växande på detta intervall.
En andra randkomponent ges av $y=1+x$, $-1\le x\le0$. Denna ger upphov till
$$g_{II}(x)=f(x,1+x)=x^2(1+x)-(1+x)=x^3+x^2-x-1.$$
Vi har $g_{II}(-1)=0$ och $g_{II}(0)=-1$ samt $g_{II}'(x)=3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)\le0$ när $-1\le x\le0$, vilket betyder att funktionen $g_{II}$ är avtagande för dessa värden på $x$.
Tredje randkomponenten beskrivs av $y=-1-x$, $-1\le x\le0$ och ger oss
$$g_{III}(x)=x^2(-1-x)-(-1-x)=-x^3-x^2+x+1.$$
Denna funktion har $g_{III}(-1)=0$ samt $g_{III}(0)=1$, och $g_{III}'(x)=(1-3x)(x+1)$. Därmed är $g_{III}$ växande på $[-1,0]$.
En sista randkomponent ges av $y=x-1$, $0\le x\le1$, och ger upphov till
$$g_{IV}(x)=x^2(x-1)-(x-1)=x^3-x^2-x+1.$$
Vi ser att $g_{IV}(0)=1$ och $g_{IV}(1)=0$ medan $g_{IV}'(x)=(x-1)(3x+1)$ är negativ på intervallet $[0,1]$, vilket medför att $g_{IV}$ är avtagande där.
Efter en jämförelse av funktionens värden i de fyra hörnen erhåller vi alltså ett största värde $1$ i punkten $(0,-1)$ och ett minsta värde $-1$ i punkten $(0,1)$.