Uppgift 3

(a) Vi utgår ifrån standardutvecklingen
$$\cos y=1-\frac{y^2}{2}+\frac{y^4}{24}+y^6B_1(y),$$
där $B_1$ är begränsad i en omgivning av origo, och erhåller genom substitutionen $y=x^4$ utvecklingen
$$x\cos(x^4) =x\left(1-\frac{(x^4)^2}{2}+\frac{(x^4)^4}{24}+(x^4)^6B_2(x)\right) =x-\frac{x^9}{2}+\frac{x^{17}}{24}+x^{25}B_2(x)$$
för en funktion $B_2$ begränsad i en omgivning av origo. Det sökta Maclaurinpolynomet ges således av
$$p_{17}(x)=x+\frac{x^{17}}{24}.$$

(b) Vi utnyttjar utvecklingen i (a) för att skriva
$$x\cos(x^4)-x+\frac{x^9}{2} =\frac{x^{17}}{24}+x^{25}B_2(x)$$
för en funktion $B_2$ som är begränsad i en omgivning av origo. Detta ger att
$$\frac1{x^{16}}\left(x\cos(x^4)-x+\frac{x^9}{2}\right) =\frac{x}{24}+x^9B_2(x),$$
vilket låter oss dra slutsatsen att det sökta gränsvärdet är lika med $0$.