Uppgift 5

Enligt en känd sats kan den allmänna lösningen till differentialekvationen skrivas på formen
$$y(x)=y_h(x)+y_p(x),$$
där $y_h$ är den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation medan $y_p$ är en partikulärlösning.
Vi börjar alltså med att lösa den homogena ekvationen
$$y''(x)+2y'(x)-y(x)=0.$$
Den sedvanliga ansatsen $y(x)=e^{rx}$ leder till den karakteristiska ekvationen
$$r^2+2r-1=0.$$
Vi kvadratkompletterar
$$r^2+2r-1=(r+1)^2-2$$
och erhåller två distinkta rötter $r_1=-1-\sqrt2$ och $r_2=-1+\sqrt2$. Därmed ges den allmänna lösningen till det homogena problemet av
$$y_h(x)=C_1e^{(-1-\sqrt2)x}+C_2e^{(-1+\sqrt2)x},$$
där $C_1,C_2\in\mathbb R$ är konstanter.
Vi söker nu en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen. Eftersom vi har att göra med en inhomogenitet som ges av en summa av en exponentialfunktion och en konstant ansätter vi
$$y_p(x)=A+Be^{2x}$$
och söker bestämma $A$ och $B$ så att ekvationen är uppfylld. Notera att resonans ej föreligger då vi har $2x$ i exponenten hos inhomogeniteten.
Derivering ger $y_p'(x)=2Be^{2x}$ och $y_p''(x)=4Be^{2x}$. Insättning i vänsterledet ger
$$4Be^{2x}+2\cdot2Be^{2x}-A-Be^{2x}=-A+7Be^{2x}.$$
Vi vill att detta ska vara lika med $e^{2x}-1$, vilket ger villkoren $-A=-1$ samt $7B=1$. En partikulärlösning ges alltså av
$$y_p(x)=\frac17e^{2x}+1.$$
Slutligen ges den allmänna lösningen till den givna differentialekvationen av
$$y(x)=C_1e^{(-1-\sqrt2)x}+C_2e^{(-1+\sqrt2)x}+\frac17e^{2x}+1,$$
där $C_1,C_2$ är reella konstanter.