Uppgift 3
Bestäm med hjälp av Maclaurinutveckling ett värde på $a\in\mathbb{R}$ som gör att gränsvärdet $\lim_{x\to0}\frac{x\sin(x^2/2)-\frac{x^3}{2}-ax^7}{x^{11}}$ blir ändligt och nollskilt. Finns det flera möjligheter att välja ett sådant $a$?
Analys II · 2026-02-24
Uppgift 3
Visa lösningDölj lösningⓘ
Maclaurinutvecklingen ger
$$x\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{x^3}{2}-\frac{x^7}{48}+\frac{x^{11}}{3840}+O(x^{15}).$$
Täljaren blir alltså
$$-\left(\frac1{48}+a\right)x^7+\frac{x^{11}}{3840}+O(x^{15}).$$
För att gränsvärdet ska vara ändligt måste $x^7$-termen försvinna, vilket ger det unika valet
$$a=-\frac1{48}.$$
Gränsvärdet blir då $1/3840$, som är nollskilt.