Uppgift 1
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D(3x+3y)^9\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y):0\le x\le5,\ 0\le y\le1\}$.
MM2001 · Analys II
Tenta 2026-02-24
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösningⓘ
Eftersom $(3x+3y)^9=3^9(x+y)^9$ får vi genom upprepad integration
$$\begin{aligned}\iint_D(3x+3y)^9\,dx\,dy&=\frac{3^9}{10}\int_0^5\bigl((x+1)^{10}-x^{10}\bigr)\,dx\\&=\frac{3^9}{110}\left(6^{11}-5^{11}-1\right)\\&=56\,180\,458\,629.\end{aligned}$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm samtliga primitiva funktioner till $f(x)=\frac{2x^2+4x}{x^3+2x^2+x}$.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Funktionen är definierad för $x\ne-1,0$. Efter förkortning och partialbråksuppdelning får vi
$$\frac{2x^2+4x}{x(x+1)^2}=\frac2{x+1}+\frac2{(x+1)^2}.$$
Därför är
$$F(x)=2\ln\lvert x+1\rvert-\frac2{x+1}+C$$
en primitiv funktion på varje intervall i definitionsmängden. Konstanterna kan väljas oberoende på $(-\infty,-1)$, $(-1,0)$ och $(0,\infty)$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm med hjälp av Maclaurinutveckling ett värde på $a\in\mathbb{R}$ som gör att gränsvärdet $\lim_{x\to0}\frac{x\sin(x^2/2)-\frac{x^3}{2}-ax^7}{x^{11}}$ blir ändligt och nollskilt. Finns det flera möjligheter att välja ett sådant $a$?
Visa lösningDölj lösningⓘ
Maclaurinutvecklingen ger
$$x\sin\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{x^3}{2}-\frac{x^7}{48}+\frac{x^{11}}{3840}+O(x^{15}).$$
Täljaren blir alltså
$$-\left(\frac1{48}+a\right)x^7+\frac{x^{11}}{3840}+O(x^{15}).$$
För att gränsvärdet ska vara ändligt måste $x^7$-termen försvinna, vilket ger det unika valet
$$a=-\frac1{48}.$$
Gränsvärdet blir då $1/3840$, som är nollskilt.
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Skissa området $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le4\}$.
(b)
Förklara varför vi kan vara säkra på att $f(x,y)=1+x^2y$ antar ett största värde och ett minsta värde på $D$.
(c)
Bestäm det största värdet och det minsta värdet som funktionen $f(x,y)=1+x^2y$ antar på mängden $D$ i deluppgift (a) och ange i vilka punkter dessa antas.
Visa lösningDölj lösningⓘ
(a) $D$ är den slutna cirkelskivan med centrum i origo och radie $2$.
(b) Funktionen $f(x,y)=1+x^2y$ är kontinuerlig och $D$ är kompakt. Extremvärdessatsen garanterar därför att både största och minsta värde antas.
(c) För ett givet $y$ gäller $0\le x^2\le4-y^2$. Extremvärdena av produkten $x^2y$ fås därför på cirkelranden och reduceras till extremvärdena av
$$g(y)=y(4-y^2),\qquad -2\le y\le2.$$
Eftersom $g'(y)=4-3y^2$ fås $y=\pm2/\sqrt3$ och då $x=\pm2\sqrt6/3$. Alltså är
$$\max_D f=1+\frac{16\sqrt3}{9}$$
i punkterna $(\pm2\sqrt6/3,2\sqrt3/3)$, och
$$\min_D f=1-\frac{16\sqrt3}{9}$$
i punkterna $(\pm2\sqrt6/3,-2\sqrt3/3)$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Finn den allmänna lösningen till differentialekvationen $y^{\prime\prime}+4y=\sin(3x)+1$.
Visa lösningDölj lösningⓘ
Den homogena ekvationen har lösningen
$$y_h=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x).$$
För högerledets sinusdel kan vi välja $y_{p,1}=A\sin(3x)$, vilket ger $-5A=1$ och alltså $A=-1/5$. För konstanttermen väljer vi $y_{p,2}=1/4$. Den allmänna lösningen är därför
$$y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac15\sin(3x)+\frac14.$$