Analys II · 2026-02-24
Skissa området $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le4\}$.
Förklara varför vi kan vara säkra på att $f(x,y)=1+x^2y$ antar ett största värde och ett minsta värde på $D$.
Bestäm det största värdet och det minsta värdet som funktionen $f(x,y)=1+x^2y$ antar på mängden $D$ i deluppgift (a) och ange i vilka punkter dessa antas.
(a) $D$ är den slutna cirkelskivan med centrum i origo och radie $2$.
(b) Funktionen $f(x,y)=1+x^2y$ är kontinuerlig och $D$ är kompakt. Extremvärdessatsen garanterar därför att både största och minsta värde antas.
(c) För ett givet $y$ gäller $0\le x^2\le4-y^2$. Extremvärdena av produkten $x^2y$ fås därför på cirkelranden och reduceras till extremvärdena av
$$g(y)=y(4-y^2),\qquad -2\le y\le2.$$
Eftersom $g'(y)=4-3y^2$ fås $y=\pm2/\sqrt3$ och då $x=\pm2\sqrt6/3$. Alltså är
$$\max_D f=1+\frac{16\sqrt3}{9}$$
i punkterna $(\pm2\sqrt6/3,2\sqrt3/3)$, och
$$\min_D f=1-\frac{16\sqrt3}{9}$$
i punkterna $(\pm2\sqrt6/3,-2\sqrt3/3)$.