Uppgift 5

$f_x'(x,y)=\frac{x^2+y^2-2x(x-y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-x^2+y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2}$, $f_y'(x,y)=\frac{-(x^2+y^2)-2y(x-y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-x^2+y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}$.

a) I en stationär punkt är $-x^2+y^2=-2xy$ och $-x^2+y^2=2xy$. Eftersom vänsterleden är lika, måste även högerleden vara det, så $-2xy=2xy$, vilket ger att $xy=0$ och antingen är $x=0$ eller $y=0$. $x=0$ insatt i den första ekvationen ovan ger $y=0$ och på liknande sätt leder $y=0$ till att även $x=0$. Vi får alltså punkten $(0,0)$ men den tillhör inte definitionsmängden för $f$. Så det finns inga stationära punkter.

b) Eftersom det inte finns några stationära punkter, behöver endast randen undersökas. Vi använder polära koordinater $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$, $0\le\theta\le2\pi$.

Då $x^2+y^2=1$ är $h_1(\theta)=f(\cos\theta,\sin\theta)=\cos\theta-\sin\theta$. $h_1'(\theta)=-\sin\theta-\cos\theta=0$ då $\tan\theta=-1$, vilket ger två $\theta$-värden: $\frac34\pi$ och $\frac74\pi$. Vi får $h_1(0)=h_1(2\pi)=1$, $h_1(\frac34\pi)=-\sqrt2$ och $h_1(\frac74\pi)=\sqrt2$. Då $x^2+y^2=4$, är $h_2(\theta)=f(2\cos\theta,2\sin\theta)=\frac12(\cos\theta-\sin\theta)$, och motsvarande värden blir $\frac12$, $-\frac1{\sqrt2}$, $\frac1{\sqrt2}$. Det följer att största värdet för $f$ i mängden $1\le x^2+y^2\le4$ är $\sqrt2$ och minsta värdet är $-\sqrt2$.

I mängden $0<x^2+y^2\le4$ har $f$ inget största eller minsta värde, vilket t.ex. kan ses på följande sätt: $f(x,0)=1/x$, så $\lim_{x\to0^+}f(x,0)=+\infty$, $\lim_{x\to0^-}f(x,0)=-\infty$.

c) Eftersom $f_x'(1,2)=\frac7{25}$ och $f_y'(1,2)=-\frac1{25}$, är tangentplanets ekvation $z=-\frac15+\frac7{25}(x-1)-\frac1{25}(y-2)$ och efter förenkling $z=\frac7{25}x-\frac1{25}y-\frac25$.