Uppgift 1

Eftersom
$$1+x^2\to+\infty\text{ då }x\to\pm\infty,\quad\arctan x\to-\frac\pi2\text{ då }x\to-\infty,\quad\text{och}\quad\arctan x\to\frac\pi2\text{ då }x\to+\infty,$$
gäller att
$$f(x)=\ln(1+x^2)-2\arctan x\to+\infty\text{ då }x\to\pm\infty.$$
Derivering ger
$$f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}-\frac2{1+x^2}=2\frac{x-1}{1+x^2}.$$
Enda nollstället till derivatan $f'(x)$ är $x=1$. Teckenstudium av derivatan ger följande schema.
$$\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&&1&&+\infty\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&+\infty&\searrow&f(1)&\nearrow&+\infty\end{array}$$
I schemat har vi satt in de gränsvärden vi fick ovan för $f(x)$ då $x\to\pm\infty$. Schemat visar att de värden som $f(x)$ antar är värdena i intervallet $[f(1),+\infty)$, dvs värdena i intervallet $[\ln2-\frac\pi2,+\infty)$. Fortsatt derivering ger
$$f''(x)=2\frac{1(1+x^2)-(x-1)2x}{(1+x^2)^2}=-2\frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}.$$
Andraderivatan $f''(x)=0$ ger ekvationen $x^2-2x-1=0$, som har rötterna $x=1\pm\sqrt2$. Teckenstudium av andraderivatan ger följande schema.
$$\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty&&1-\sqrt2&&1+\sqrt2&&+\infty\\\hline f''(x)&&-&0&+&0&-&\\f(x)&&\frown&&\smile&&\frown&\end{array}$$
så $f(x)$ är således strängt konkav i intervallen $(-\infty,1-\sqrt2]$ och $[1+\sqrt2,+\infty)$ samt strängt konvex i intervallet $[1-\sqrt2,1+\sqrt2]$.