Uppgift 4

Eftersom $x=0$ inte är rot till den givna ekvationen $x^6+ax+5=0$ för något tal $a$, har vi för godtyckligt reellt tal $a$ att
$$x^6+ax+5=0\iff-x^6-5=ax\iff-x^5-\frac5x=a.$$
Sätt
$$f(x)=-x^5-\frac5x.$$
Sista ekvationen ovan är då $f(x)=a$. Antalet olika reella lösningar till ekvationen $f(x)=a$ för olika reella tal $a$, kan fås genom att studera hur funktionen $f(x)$ varierar. Vi har att
$$\begin{cases}f(x)=-x^5-\frac5x\to+\infty&\text{då }x\to-\infty,\\f(x)=-x^5-\frac5x\to-\infty&\text{då }x\to+\infty,\\f(x)=-x^5-\frac5x\to+\infty&\text{då }x\to0^-,\\f(x)=-x^5-\frac5x\to-\infty&\text{då }x\to0^+.\end{cases}\tag{3}$$
Derivering ger vidare att
$$f'(x)=-5x^4+\frac5{x^2}=-5\frac{x^6-1}{x^2}.$$
Ekvationen $f'(x)=0\iff x^6-1=0$, har de reella lösningarna $x=\pm1$. Motsvarande funktionsvärden är $f(-1)=6$ och $f(1)=-6$. Teckenstudium av derivatan $f'(x)$ ger följande schema
$$\begin{array}{c|ccccccccc}x&-\infty&&-1&&0&&1&&+\infty\\\hline f'(x)&&-&0&+&\text{ej def.}&+&0&-&\\f(x)&&\searrow&6&\nearrow&\text{ej def.}&\nearrow&-6&\searrow&\end{array}$$
Schemat och (3) visar att ekvationen $f(x)=a$ har följande antal olika reella rötter för olika reella tal $a$: $0$ då $-6<a<6$, $1$ då $a=-6$ och då $a=6$, samt $2$ då $a<-6$ och då $a>6$.