Uppgift 5

Sätt
$$f(x)=\left(x^3+x^2+\frac1x\right)^{1/3}.$$
Funktionen $f(x)$ är definierad och kontinuerlig för alla $x\ne0$. Den enda möjliga lodräta asymptoten till kurvan $y=f(x)$ är således $x=0$. Eftersom
$$f(x)=\left(x^3+x^2+\frac1x\right)^{1/3}\to-\infty\quad\text{då }x\to0^-$$
och
$$f(x)=\left(x^3+x^2+\frac1x\right)^{1/3}\to+\infty\quad\text{då }x\to0^+$$
så är verkligen $x=0$ en lodrät asymptot till kurvan $y=f(x)$.

Vi bestämmer nu eventuella sneda asymptoter då $x\to\pm\infty$. Taylorutvecklingen (standardutvecklingen)
$$(1+u)^{1/3}=1+\frac{\frac13}{1!}u+O(u^2)=1+\frac13u-\frac19u^2+O(u^2)\quad\text{då }u\text{ nära }0$$
ger att
$$\begin{aligned}f(x)&=\left(x^3+x^2+\frac1x\right)^{1/3}=x\left(1+\frac1x+\frac1{x^4}\right)^{1/3}\\&=x\left(1+\frac13\left(\frac1x+\frac1{x^4}\right)+O\left(\left(\frac1x+\frac1{x^4}\right)^2\right)\right)=x\left(1+\frac13\left(\frac1x+\frac1{x^4}\right)+O\left(\frac1{x^2}\right)\right)\\&=x\left(1+\frac1{3x}+O\left(\frac1{x^2}\right)\right)=x+\frac13+O\left(\frac1x\right)\quad\text{då }x\text{ är stort (positivt eller negativt)},\end{aligned}$$
och alltså gäller att
$$f(x)-\left(x+\frac13\right)\to0\quad\text{då }x\to\pm\infty.$$
Det följer att linjen
$$y=x+\frac13$$
är asymptot till kurvan $y=f(x)$ då $x\to-\infty$ och då $x\to+\infty$.