Uppgift 5

Sätt $f(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3$. Då är $f'(x)=1+x+x^2$. Eftersom ekvationen $1+x+x^2=0$ saknar reella lösningar, och $f'(0)=1>0$ samt $f'(x)$ är kontinuerlig på $\mathbb R$, följer att $f'(x)>0$ för alla $x\in\mathbb R$. Funktionen $f(x)$ är alltså strängt växande på $\mathbb R$. Ekvationen $f(x)=0$ kan således ha högst en reell rot. Men $f(x)\to-\infty$ då $x\to-\infty$ och $f(x)\to+\infty$ då $x\to+\infty$ så enligt satsen om mellanliggande värden har ekvationen $f(x)=0$ minst en reell rot. Det följer att $f(x)=0$ har exakt en reell rot.

Sätt $g(x)=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\frac{x^5}5$. Då är $g'(x)=1+x+x^2+x^3+x^4$. Enligt summaformeln för en geometrisk serie har vi att $g'(x)=\frac{x^5-1}{x-1}$ för alla $x\ne1$, vilket visar att $g'(x)\ne0$ för alla $x\ne1$. Detta och att $g'(1)=5>0$ samt att $g'(x)$ är kontinuerlig på $\mathbb R$ medför att $g'(x)>0$ för alla $x\in\mathbb R$. Funktionen $g(x)$ är alltså strängt växande på $\mathbb R$. Sedan kan vi argumentera som ovan. Ekvationen $g(x)=0$ kan således ha högst en reell rot. Men $g(x)\to-\infty$ då $x\to-\infty$ och $g(x)\to+\infty$ då $x\to+\infty$ så enligt satsen om mellanliggande värden har ekvationen $g(x)=0$ minst en reell rot. Det följer att $g(x)=0$ har exakt en reell rot.