Uppgift 3

Låt $f(x)=x^3-6\arctan x$. Derivation ger
$$f'(x)=3x^2-\frac6{1+x^2}=\frac{3(x^4+x^2-2)}{1+x^2}.$$
Vi finner nollställena genom att sätta $t=x^2$ och lösa andragradsekvationen $t^2+t-2=0$, vilket ger $t=1$ och $t=-2$. Eftersom $x^2\ge0$ fås de enda rötterna ur fallet $x^2=1$, dvs $x=\pm1$.

Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-1&&1&\\\hline f'&+&0&-&0&+\\f&-\infty\nearrow&\frac{3\pi}2-1&\searrow&1-\frac{3\pi}2&\nearrow\infty\end{array}$$
Ur tabellen kan vi utläsa följande:

1. För $a<1-\frac{3\pi}2$ finns en unik lösning.
2. För $a=1-\frac{3\pi}2$ finns två lösningar.
3. För $1-\frac{3\pi}2<a<\frac{3\pi}2-1$ finns tre lösningar.
4. För $a=\frac{3\pi}2-1$ finns två lösningar.
5. För $\frac{3\pi}2-1<a$ finns en unik lösning.