Uppgift 2

a) Sätt $f(x)=\ln(x+1)-\arctan x$, $x>-1$. Då är $f'(x)=\frac1{x+1}-\frac1{1+x^2}=\frac{x^2-x}{(x+1)(1+x^2)}$ och $f'(x)=0$ för $x=0$ och $x=1$.

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|cccccc}x&-1&&0&&1&\\\hline f'&&+&0&-&0&+\\f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow\end{array}$$
Eftersom $f(0)=0$ och $f(x)\to\infty$ då $x\to\infty$, följer det ur tabellen ovan att $f$ har $2$ nollställen (rita gärna en figur). Alltså har den angivna ekvationen $2$ lösningar.

b) Låt nu $f(x)=\ln|x+1|-\arctan x$, $x\ne-1$. För $x<-1$ ges $f'(x)$ av samma uttryck som ovan. Alltså är $f'(x)<0$, dvs. $f$ är strängt avtagande för alla $x<-1$. Eftersom $f(x)\to\infty$ då $x\to-\infty$ och $f(x)\to-\infty$ då $x\to-1^-$, har $f$ exakt ett nollställe för $x<-1$. Det följer att ekvationen har $3$ lösningar, en för $x<-1$ och två för $x>-1$.