Uppgift 3

Vi undersöker funktionen $f(x)=\arctan x-\ln(1+x^2)$. Derivatan $f'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{1-2x}{1+x^2}$ har ett nollställe $x=\frac12$.

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccc}x&&1/2&\\\hline f'&+&0&-\\f&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Eftersom $\arctan x$ är begränsad och $\ln(1+x^2)\to\infty$ då $x\to\pm\infty$, är $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty$. Detta tillsammans med teckentabellen ovan visar att ekvationen $f(x)=a$ har två lösningar för $a<f(\frac12)=\arctan\frac12-\ln\frac54$, en lösning för $a=f(\frac12)$ och ingen lösning för $a>f(\frac12)$. (Rita gärna grafen för $f$ i stora drag.)