Uppgift 4

Definitionsmängden $D_f=\{x\mid x^2+x-2\ge0\}$. Eftersom ekvationen $x^2+x-2=0$ har rötterna $x_1=-2$ och $x_2=1$, är $x^2+x-2=(x+2)(x-1)\ge0$ om och endast om $x\le-2$ eller $x\ge1$. Så $D_f=(-\infty,-2]\cup[1,\infty)$.

Eftersom $f$ är uppenbart $\ge0$, $f(1)=0$ och $f(x)=x\sqrt{1+1/x-2/x^2}\to\infty$ då $x\to\infty$, följer det ur satsen om mellanliggande värden att värdemängden $V_f=[0,\infty)$.

Eftersom $f$ inte kan gå mot $\pm\infty$ då $x$ går mot ett ändligt värde, har $f$ ingen lodrät asymptot.
$$\frac{f(x)}x=\frac{\sqrt{x^2+x-2}}x=\frac{\sqrt{x^2(1+1/x-2/x^2)}}x=\frac{\lvert x\rvert}x\sqrt{1+1/x-2/x^2}.$$
Låt $x\to\infty$. Då är $\lvert x\rvert=x$, så $\frac{f(x)}x\to1=k$ och
$$\begin{aligned}\sqrt{x^2+x-2}-x&=\frac{(\sqrt{x^2+x-2}-x)(\sqrt{x^2+x-2}+x)}{\sqrt{x^2+x-2}+x}=\frac{x-2}{x\sqrt{1+1/x-2/x^2}+x}\\&=\frac{1-2/x}{\sqrt{1+1/x-2/x^2}+1}\to\frac12=m.\end{aligned}$$
Alltså är $y=x+\frac12$ sned asymptot då $x\to\infty$.

Låt $x\to-\infty$. Eftersom $\lvert x\rvert=-x$ nu, får vi att $\frac{f(x)}x\to-1=k$ och
$$\begin{aligned}\sqrt{x^2+x-2}+x&=\frac{(\sqrt{x^2+x-2}+x)(\sqrt{x^2+x-2}-x)}{\sqrt{x^2+x-2}-x}=\frac{x-2}{-x\sqrt{1+1/x-2/x^2}-x}\\&=\frac{1-2/x}{-\sqrt{1+1/x-2/x^2}-1}\to-\frac12=m.\end{aligned}$$
Så $y=-x-\frac12$ är sned asymptot då $x\to-\infty$.