Uppgift 4

Sätt $f(x)=2\ln x+\frac{x^2}2-3x$. Då är $f'(x)=\frac{x^2-3x+2}x$ och vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|cccccc}x&0&&1&&2&\\\hline f'&&+&0&-&0&+\\f&&\nearrow&-\frac52&\searrow&2\ln2-4&\nearrow\end{array}$$
Vi har också gränsvärdena $\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$ och $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}x^2(\frac{2\ln x}{x^2}+\frac12-\frac3x)=\infty$ eftersom $2\ln x/x^2\to0$ och $3/x\to0$ då $x\to\infty$.

Med hjälp av tabellen och gränsvärdena ovan ser vi att ekvationen $f(x)=a$ har exakt en lösning om och endast om $a<2\ln2-4$ eller $a>-\frac52$ (det ser man bäst om man skissar grafen för $f$). Notera att ekvationen $f(x)=a$ har exakt en lösning om och endast om grafen för $f$ och linjen $y=a$ har exakt en gemensam punkt.