Uppgift 4

$f'(x)=\frac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2}$. Derivatans nollställen är $-\frac12$ och $2$. Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&-\frac12&&2&\\\hline f'&-&0&+&0&-\\f&\searrow&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
$f$ har ett lokalt minimum då $x=-\frac12$ och ett lokalt maximum då $x=2$.

Eftersom $f$ är definierad och kontinuerlig för alla $x$, finns inga lodräta asymptoter.

Eftersom $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2+4x-2}{x^2+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+4/x-2/x^2}{1+1/x^2}=1$, är $y=1$ vågrät asymptot då $x\to\pm\infty$.

Eftersom $f(-\frac12)=-3<1<f(2)=2$, är $-3$ $f$:s minsta och $2$ $f$:s största värde. Så $V_f=[-3,2]$ enligt satsen om mellanliggande värden.

Grafen: