Uppgift 4

Sätt $f(x)=x^2e^{2-x}$. Derivering ger $f'(x)=(2x-x^2)e^{2-x}=x(2-x)e^{2-x}$.

Teckentabell för $f'$:
$$\begin{array}{c|ccccc}x&&0&&2&\\\hline f'&-&0&+&0&-\\f&\searrow&&\nearrow&&\searrow\end{array}$$
Vi behöver också gränsvärdena $\lim_{x\to-\infty}x^2e^{2-x}=\infty$ och $\lim_{x\to\infty}x^2e^{2-x}=\lim_{x\to\infty}e^2\frac{x^2}{e^x}=0$.

Nu ser vi att $f$ tar alla värden $y$ mellan $0$ och $\infty$ exakt en gång för $x\le0$.

Låt nu $x>0$. Eftersom $f$ är strängt växande för $0\le x\le2$, strängt avtagande för $x\ge2$, $f(0)=0$, $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ och $f(2)=4$, tar $f$ alla värden $y\in(0,4)$ två gånger (en gång för $0<x<2$ och en gång för $x>2$), värdet $4$ en gång (i $x=2$) och den tar inga andra värden för $x>0$.

Det följer att ekvationen $f(x)=3$ har tre lösningar, $f(x)=4$ har två och $f(x)=5$ har en lösning (det kan underlätta att se det om man ritar grafen för $f$).