Uppgift 2
Undersök, för varje reellt tal $a$, hur många lösningar ekvationen $f(x)=a$ har om
$$f(x)=\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right).$$
Hela analys · 2012-05-12
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- Derivering ger
$$ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}. $$
Alltså är
$$ f(x)=\arctan x+C. $$
Eftersom $f(0)=0$ fås $C=0$, så $f(x)=\arctan x$. Funktionen $\arctan x$ är strikt växande och har värdemängden $(-\pi/2,\pi/2)$. Ekvationen $f(x)=a$ har därför exakt en lösning när $a\in(-\pi/2,\pi/2)$ och inga lösningar när $a\leq-\pi/2$ eller $a\geq\pi/2$.