Uppgift 4

Det är lätt att inse att definitionsmängden till funktionen är $0<x<\infty$. Vi beräknar gränsvärdena för $f(x)$ då $x\to0$ respektive $x\to\infty$: $f(x)\to\infty$ då $x\to0^+$ och $f(x)\to-\infty$ då $x\to\infty$. Det ger värdemängden $(-\infty,\infty)$. Det innebär att $f(x)=a$ har minst en lösning för alla reella tal $a$.

Funktionen är kontinuerlig och deriverbar. Derivation ger
$$f'(x)=\frac{10}{1+x^2}-\frac2x-1=-\frac{(x-2)(x^2+4x-1)}{x(1+x^2)},$$
vilket visar att derivatan har nollställen i $x=2$ eller $x=\sqrt5-2$ i definitionsmängden. Vi får följande teckentabell:
$$\begin{array}{c|cccccc}x&0&&\sqrt5-2&&2&\\\hline f'&&-&0&+&0&-\\f&&\searrow&\min&\nearrow&\max&\searrow\end{array}$$
Alltså är det maximala antal rötter som ekvationen $f(x)=a$ kan ha $3$ för $a$ mellan $f(\sqrt5-2)$ och $f(2)$.