Hela analys · 2012-12-19
Betrakta den generaliserade integralen
$$I(\alpha)=\int_0^\infty e^{\alpha t}\cos t\,dt.$$
Beräkna integralen för $\alpha=-5$.
För vilka värden på $\alpha\in\mathbb{R}$ är den generaliserade integralen konvergent? Beräkna värdet i så fall.
b) Två partiella integrationer ger primitiven
$$
\int e^{\alpha t}\cos t\,dt
=\frac{e^{\alpha t}(\sin t+\alpha\cos t)}{1+\alpha^2}+C.
$$
Alltså
$$
I(\alpha)=\lim_{T\to\infty}\frac{\left[e^{\alpha t}(\sin t+\alpha\cos t)\right]_{t=0}^{t=T}}{1+\alpha^2}.
$$
Gränsvärdet existerar precis när $\alpha<0$. I detta fall är
$$
I(\alpha)=-\frac{\alpha}{1+\alpha^2}.
$$