Hela analys · 2013-05-18

Uppgift 1

Uppgift 1

Betrakta funktionen
$$f(x)=xe^{2/x},\qquad x\ne0.$$

(a)

Undersök funktionen med avseende på lokala extrempunkter och konvexitet. Ange även eventuella asymptoter. Rita grafen till funktionen $f$.
Obs: Det är särskilt intressant hur funktionen beter sig i närheten av $x=0$!

(b)

Antar $f$ största och/eller minsta värden på det öppna intervallet $(1,2)$?
Ange respektive värden.

Visa lösningDölj lösning

(a) $f(x)=xe^{2/x}$, $x\ne0$, har $f'(x)=\frac{x-2}{x}e^{2/x}$ och $f''(x)=\frac4{x^3}e^{2/x}$. Funktionen har lokalt minimum $(2,2e)$, är konkav på $(-\infty,0)$ och konvex på $(0,\infty)$. Asymptoterna är $x=0$ för $x\to0^+$ och $y=x+2$ för $x\to\pm\infty$. (b) På det öppna intervallet $(1,2)$ finns varken största eller minsta värde.