Uppgift 1

(a) Derivatan blir: $h'(x)=\dots=\frac{2(x-2)(x-1)}{x-3}$.

Teckenschemat ger:
$$\begin{array}{c|ccccccc}&&1&&2&&3&\\\hline h'&-&0&+&0&-&\text{ej def.}&+\\h&\searrow&4\ln2+1&\nearrow&4&\searrow&\text{ej def.}&\nearrow\end{array}$$
Lokala extrempunkter: Lokalt minimum: $(1,4\ln2+1)$; lokalt maximum: $(2,4)$.

Gränsvärdena på randen av definitionsmängden:

$\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=\infty$ och $\lim_{x\to3^\pm}h(x)=-\infty$.

Asymptoter:

$x=3$ är en lodrät asymptot, ty $\lim_{x\to3^\pm}h(x)=-\infty$ och det finns inte någon asymptot då $x\to\pm\infty$, ty $\lim_{x\to\pm\infty}h(x)/x=\pm\infty$.

Inflexionspunkter:

Andra derivatan $h''(x)=\dots=2\frac{(x-(3+\sqrt2))(x-(3-\sqrt2))}{(x-3)^2}$ byter tecken i $x=3\pm\sqrt2$ och därför har vi

Inflexionspunkter: $(x=3\pm\sqrt2,2\ln2+11\pm6\sqrt2)$.

Graf:

(b) Från undersökningarna i (a) har vi fått följande bild:

Det blir alltså tre lösningar.