Uppgift 2

(a) $$\int_0^\infty\frac{e^x}{e^{2x}+1}\,dx =\left[\begin{aligned}e^x&=t\\e^x\,dx&=dt\\x=0&\rightsquigarrow t=1\\x\to\infty&\rightsquigarrow t\to\infty\end{aligned}\right] =\int_1^\infty\frac1{t^2+1}\,dt=\dots=\frac\pi4.$$
(b) Vi använder oss av jämförelsesatsen. Olikheten
$$0\le\frac{e^x}{e^{2x}+1}(2+\sin x)\le\frac{e^x}{e^{2x}+1}\cdot3$$
och deluppgift (a) medför att integralen är konvergent.