Uppgift 2
(a)
Beräkna
$$\int_{\sqrt2}^\infty\frac{2}{x^2+3x+2}\,dx$$
och förenkla resultatet så långt som möjligt.
(b)
Är den generaliserade integralen
$$\int_{\sqrt2}^\infty\frac{\arctan(x^7)}{x^2+3x+2}\,dx$$
konvergent?
Hela analys · 2014-01-13
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
- a) Partialbråksuppdelning ger
$$ \frac{2}{x^2+3x+2}=\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x+2}. $$
Därför är
$$ \int_{\sqrt2}^{\infty}\frac{2}{x^2+3x+2}\,dx =\lim_{B\to\infty}\left[2\ln\left\lvert\frac{x+1}{x+2}\right\rvert\right]_{\sqrt2}^{B} =\ln2. $$
b) Integralen är konvergent, eftersom
$$
0\leq\frac{\arctan(x^7)}{x^2+3x+2}
\leq\frac{\pi/2}{x^2+3x+2}
$$
för $x\geq\sqrt2$, och integralen i a) är konvergent.