Hela analys · 2014-02-15

Uppgift 6

Hela tentan

Annemarie Luger Logik och mängder Klassificering

Uppgift 6

Betrakta funktionen
$$p(x)=x^3-3x^2+1.$$

(a)

Bestäm (eventuella) största och minsta värde till $p$ i intervallet $[1,3]$.

(b)

Bestäm (eventuella) största och minsta värde till $p$ i intervallet $(1,3)$.

(c)

Bestäm följande mängd
$$M=\{t\in\mathbb{R}\mid -1<p(t)<1\}.$$

Visa lösningDölj lösning

Derivering ger
$$ p'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). $$
Funktionen har ett lokalt maximivärde $p(0)=1$ och ett lokalt minimivärde $p(2)=-3$. Dessutom är
$$ p(1)=-1,\qquad p(3)=1. $$

a) På $[1,3]$ är största värdet $1$ och minsta värdet $-3$.

b) På $(1,3)$ är minsta värdet $-3$, men något största värde finns inte.

c) Ekvationerna $p(t)=1$ och $p(t)=-1$ ger respektive
$$ t=0,\,3 \qquad\text{och}\qquad t=1,\,1-\sqrt3,\,1+\sqrt3. $$
Därmed är
$$ M=(1-\sqrt3,0)\cup(0,1)\cup(1+\sqrt3,3). $$