Hela analys · 2014-08-22

Uppgift 1

Hela tentan

Uppgift 1

Betrakta funktionen $f:D_f\to\mathbb{R}$ som ges av
$$f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}.$$

(a)

Ange definitionsmängden $D_f$, dvs ange alla $x\in\mathbb{R}$ för vilka $f(x)$ är definierat (som ett reellt tal!).

(b)

Är $f$ jämn, udda eller varken eller? Motivering krävs.

(c)

Undersök funktionen $f$ med avseende på lokala extrempunkter och skissa grafen.
Anmärkning: Din undersökning och skiss ska visa tydligt vad som händer på randen av definitionsmängden. Konvexitetsegenskaper behöver inte undersökas!

Visa lösningDölj lösning

a) Funktionen är definierad då både $1+x\ge0$ och $1-x\ge0$. Alltså är

$$D_f=[-1,1].$$

b) Vi har

$$\begin{aligned}f(-x)&=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}\\&=-\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)=-f(x).\end{aligned}$$

Alltså är $f$ udda.

c) Derivatan är

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}+\frac{1}{2\sqrt{1-x}}>0$$

för $-1<x<1$. Funktionen är alltså strängt växande på hela definitionsintervallet. Dess enda lokala extrempunkter är därför randpunkterna: minimum i $x=-1$, där $f(-1)=-\sqrt2$, och maximum i $x=1$, där $f(1)=\sqrt2$. Vid randpunkterna är derivatan inte definierad, och

$$\lim_{x\to-1^+}f'(x)=\lim_{x\to1^-}f'(x)=\infty.$$

Grafen är en strängt växande, udda kurva från $(-1,-\sqrt2)$ till $(1,\sqrt2)$ och passerar origo.