Hela analys · 2015-01-12
Hur många lösningar har ekvationen $\arctan x-\ln(1+x)=0$?
Finns det något $a$ för vilket ekvationen $\arctan x-\ln(1+x)=a$ saknar lösning?
Finns det något $a$ för vilket ekvationen $\arctan x-\ln(1+x)=a$ har 3 lösningar?
Eventuella värden på $a$ behöver inte anges (men givetvis krävs motivering).
Sätt
$$f(x)=\arctan x-\ln(1+x).$$
Funktionen är definierad för $x>-1$, och
$$f'(x)=\frac1{1+x^2}-\frac1{1+x}=\frac{x-x^2}{(1+x^2)(1+x)}.$$
Teckenstudiet visar att $f$ är avtagande på $(-1,0)$, växande på $(0,1)$ och avtagande på $(1,\infty)$. Vidare är
$$\lim_{x\to-1^+}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty.$$
Eftersom $f(0)=0$, är $f(x)>0$ för $-1<x<0$ och för $0<x\le1$. Då $f$ är avtagande för $x\ge1$ och går mot $-\infty$, skär grafen $x$-axeln exakt en gång för $x>1$. Ekvationen $f(x)=0$ har därför exakt två lösningar.
Gränsvärdena visar också att värdemängden för $f$ är hela $\mathbb{R}$, så ekvationen $f(x)=a$ har minst en lösning för varje $a$. Med teckenstudiet ser vi dessutom att $f(x)=a$ har tre lösningar för varje
$$a\in(0,f(1)).$$