Uppgift 1

Derivatan är
$$ f'(x)=(-4x^2+2x+2)e^{-x^2}=-2(2x+1)(x-1)e^{-x^2}. $$
Alltså är $f'<0$ för $x<-\frac12$, $f'>0$ för $-\frac12<x<1$ och $f'<0$ för $x>1$. Funktionen har därför ett lokalt minimum i $x=-\frac12$ och ett lokalt maximum i $x=1$.

Funktionen är kontinuerlig på $\mathbb{R}$ och har därför inga lodräta asymptoter. Dessutom gäller
$$ 0\leq \lvert f(x) \vert=\lvert2x-1 \vert e^{-x^2}\leq x^2e^{-x^2}\longrightarrow0 \quad\text{då }x\to\pm\infty. $$
Alltså är $y=0$ en vågrät asymptot åt båda hållen. Grafen går genom $(\frac12,0)$, har minimumsvärdet $f(-\frac12)=-2e^{-1/4}$ och maximumsvärdet $f(1)=e^{-1}$. Värdemängden är därför
$$ V_f=[-2e^{-1/4},e^{-1}]. $$
Eftersom $f(-\frac12)=-2e^{-1/4}<-1$, finns exakt en lösning till $f(x)=-1$ på $(-\infty,-\frac12)$ och exakt en på $(-\frac12,\frac12)$. På resten av $\mathbb{R}$ är $f(x)\geq0$. Ekvationen har alltså två lösningar.