Uppgift 2
Bestäm följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to0}(1+x)^{1/\sin 3x}$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{x\arctan x+2\cos x-2}{x\sin x-\ln(1+x^2)}$.
Hela analys · 2015-08-24
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
a) Skriv
$$
(1+x)^{1/\sin(3x)}
=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}{\sin(3x)}\right).
$$
Eftersom
$$
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{\sin(3x)}
=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)}\cdot\frac13
=\frac13,
$$
följer att
$$
\lim_{x\to0}(1+x)^{1/\sin(3x)}=e^{1/3}.
$$
b) Maclaurinutvecklingar ger
$$
x\arctan x+2\cos x-2=-\frac14x^4+O(x^6)
$$
och
$$
x\sin x-\ln(1+x^2)=\frac13x^4+O(x^6).
$$
Alltså
$$
\lim_{x\to0}\frac{x\arctan x+2\cos x-2}{x\sin x-\ln(1+x^2)}
=\frac{-1/4}{1/3}=-\frac34.
$$