MM2001 · Hela analys
Undersök funktionen $f(x)=\arctan x+\frac{1}{x-1}$ med avseende på lokala extrempunkter och asymptoter. Rita grafen för $f$. Bestäm värdemängden för $f$ och avgör för vilka $a$ som ekvationen $f(x)=a$ har exakt en lösning. Konvexitet behöver inte undersökas.
Derivatan är
$$
f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{(x-1)^2}
=\frac{-2x}{(1+x^2)(x-1)^2}.
$$
Det enda derivatanollstället är $x=0$. Funktionen är växande på $(-\infty,0)$ och avtagande på $(0,1)$ respektive $(1,\infty)$. Den har alltså ett lokalt maximum i $x=0$, där $f(0)=-1$, men inga lokala minima.
Vid $x=1$ gäller
$$
\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=\infty,
$$
så $x=1$ är en lodrät asymptot. Vidare gäller
$$
\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac\pi2,\qquad
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac\pi2.
$$
Alltså är $y=\frac\pi2$ respektive $y=-\frac\pi2$ vågräta asymptoter. Värdemängden är
$$
V_f=(-\infty,-1]\cup\left(\frac\pi2,\infty\right).
$$
Ekvationen $f(x)=a$ har exakt en lösning för
$$
a\leq-\frac\pi2,\qquad a=-1,\qquad\text{eller}\qquad a>\frac\pi2.
$$
För $-\frac\pi2<a<-1$ finns två lösningar, och för $-1<a\leq\frac\pi2$ finns inga.
Bestäm följande gränsvärden:
$\lim_{x\to0}(1+x)^{1/\sin 3x}$,
$\lim_{x\to0}\frac{x\arctan x+2\cos x-2}{x\sin x-\ln(1+x^2)}$.
a) Skriv
$$
(1+x)^{1/\sin(3x)}
=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}{\sin(3x)}\right).
$$
Eftersom
$$
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{\sin(3x)}
=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)}\cdot\frac13
=\frac13,
$$
följer att
$$
\lim_{x\to0}(1+x)^{1/\sin(3x)}=e^{1/3}.
$$
b) Maclaurinutvecklingar ger
$$
x\arctan x+2\cos x-2=-\frac14x^4+O(x^6)
$$
och
$$
x\sin x-\ln(1+x^2)=\frac13x^4+O(x^6).
$$
Alltså
$$
\lim_{x\to0}\frac{x\arctan x+2\cos x-2}{x\sin x-\ln(1+x^2)}
=\frac{-1/4}{1/3}=-\frac34.
$$
Bestäm alla lösningar till följande differentialekvationer:
$y''+4y'+9y=e^{-x}-9x^2$,
$xy'-y=x^3\sqrt{1+x^2}$, $x>0$.
a) Den karakteristiska ekvationen är
$$
r^2+4r+9=0,
$$
med rötterna $r=-2\pm\sqrt5\,i$. Därför är den homogena lösningen
$$
y_h=e^{-2x}\bigl(D_1\cos(\sqrt5x)+D_2\sin(\sqrt5x)\bigr).
$$
Sätt
$$
y_p=ae^{-x}+bx^2+cx+d.
$$
Insättning i differentialekvationen ger
$$
6a=1,\qquad9b=-9,\qquad8b+9c=0,\qquad2b+4c+9d=0.
$$
Alltså är $a=\frac16$, $b=-1$, $c=\frac89$ och $d=-\frac{14}{81}$. Alla lösningar är därför
$$
y=e^{-2x}\bigl(D_1\cos(\sqrt5x)+D_2\sin(\sqrt5x)\bigr)
+\frac16e^{-x}-x^2+\frac89x-\frac{14}{81}.
$$
b) Efter division med $x$ blir ekvationen
$$
y'-\frac1x y=x^2\sqrt{1+x^2},\qquad x>0.
$$
En integrerande faktor är $1/x$, så
$$
\left(\frac yx\right)'=x\sqrt{1+x^2}.
$$
Därmed
$$
\frac yx=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C,
$$
och alla lösningar är
$$
y=\frac{x}{3}(1+x^2)^{3/2}+Cx.
$$
Bestäm alla lokala maxima och minima för funktionen $f(x)=e^{-x}\sin x$, $0\le x\le3\pi$. Undersök även konvexitet för $0\le x\le3\pi$.
Vi har
$$
f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x).
$$
Derivatans nollställen i $[0,3\pi]$ är
$$
\frac\pi4,\qquad\frac{5\pi}4,\qquad\frac{9\pi}4.
$$
Tecknet för $f'$ visar att $f$ har lokala maxima vid $x=\frac\pi4$ och $x=\frac{9\pi}4$, samt lokala minima vid $x=0$, $x=\frac{5\pi}4$ och $x=3\pi$.
Dessutom är
$$
f''(x)=-2e^{-x}\cos x.
$$
Andraderivatans nollställen är $\frac\pi2$, $\frac{3\pi}2$ och $\frac{5\pi}2$. Funktionen är därför konkav på
$$
\left[0,\frac\pi2\right]\quad\text{och}\quad
\left[\frac{3\pi}2,\frac{5\pi}2\right],
$$
och konvex på
$$
\left[\frac\pi2,\frac{3\pi}2\right]\quad\text{och}\quad
\left[\frac{5\pi}2,3\pi\right].
$$
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=x^2+xy^2-x$ i triangeln med hörn i punkterna $(2,0)$, $(0,2)$ och $(0,-2)$.
De inre stationära punkterna uppfyller
$$
f_x=2x+y^2-1=0,\qquad f_y=2xy=0.
$$
Villkoret $x=0$ ger endast randpunkter. Villkoret $y=0$ ger $x=\frac12$, så den inre stationära punkten är
$$
\left(\frac12,0\right),\qquad f\left(\frac12,0\right)=-\frac14.
$$
På randen $x=0$ är $f=0$, och i hörnet $(2,0)$ är $f=2$. På sidan $y=2-x$ får vi
$$
h_1(t)=f(t,2-t)=t^3-3t^2+3t,\qquad0\leq t\leq2.
$$
Eftersom $h_1'(t)=3(t-1)^2$ fås det inre värdet $h_1(1)=1$. Sidan $y=x-2$ ger samma funktion och därmed samma värden. Jämförelse av värdena $-\frac14$, $0$, $1$ och $2$ visar att funktionens största värde är $2$ och dess minsta värde är $-\frac14$.
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$, där $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\ y\ge\lvert x\rvert\}$.
I polära koordinater beskrivs området av
$$
0\leq r\leq2,\qquad\frac\pi4\leq\theta\leq\frac{3\pi}4.
$$
Alltså
$$
\begin{aligned}
\iint_D e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy
&=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\int_0^2 re^{-r^2}\,dr\,d\theta\\
&=\frac\pi2\int_0^2re^{-r^2}\,dr\\
&=\frac\pi4\int_0^4e^{-t}\,dt\\
&=\frac\pi4\bigl(1-e^{-4}\bigr).
\end{aligned}
$$