Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=x^2+xy^2-x$ i triangeln med hörn i punkterna $(2,0)$, $(0,2)$ och $(0,-2)$.
Hela analys · 2015-08-24
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
De inre stationära punkterna uppfyller
$$
f_x=2x+y^2-1=0,\qquad f_y=2xy=0.
$$
Villkoret $x=0$ ger endast randpunkter. Villkoret $y=0$ ger $x=\frac12$, så den inre stationära punkten är
$$
\left(\frac12,0\right),\qquad f\left(\frac12,0\right)=-\frac14.
$$
På randen $x=0$ är $f=0$, och i hörnet $(2,0)$ är $f=2$. På sidan $y=2-x$ får vi
$$
h_1(t)=f(t,2-t)=t^3-3t^2+3t,\qquad0\leq t\leq2.
$$
Eftersom $h_1'(t)=3(t-1)^2$ fås det inre värdet $h_1(1)=1$. Sidan $y=x-2$ ger samma funktion och därmed samma värden. Jämförelse av värdena $-\frac14$, $0$, $1$ och $2$ visar att funktionens största värde är $2$ och dess minsta värde är $-\frac14$.